Rozważmy niejednorodne równanie struny
\( u_{tt}=a^2 u_{xx} +f(x,t), \quad 0< x< l,\quad t> 0, \)
z warunkami brzegowymi
\( u(0,t)=0, \quad u(l,t)= 0, \quad t> 0. \)
oraz warunkami początkowymi
\( u(x,0)=\varphi (x), \quad u_t(x,0)= \psi (x), \quad 0 < x < l. \)
Szukamy rozwiązania postaci
\( u(x,t)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\omega_n (t) \sin (\dfrac{n\pi}{l}x), \)
gdzie \( \hskip 0.3pc \omega_n, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc n\in \mathbb N, \hskip 0.3pc \) są nieznanymi funkcjami które będziemy starali się wyznaczyć tak, aby uzyskać szukane rozwiązanie.
Zapiszmy funkcje \( \hskip 0.3pc f, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \) w postaci szeregów Fouriera
\( f(x,t)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\gamma_n (t) \sin (\dfrac{n\pi}{l}x), \)
\( \varphi (x)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n \sin (\dfrac{n\pi}{l}x), \qquad\psi (x)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\beta_n \sin (\dfrac{n\pi}{l}x), \)
gdzie
\( \gamma_n(t)=\dfrac 2l \int\limits_0^lf( \tau ,t) \sin (\dfrac{n\pi}{l}\tau) \, d\tau , \)
\( \alpha_n=\dfrac 2l \displaystyle\int\limits_0^l\varphi (\tau ) \sin (\dfrac{n\pi}{l}\tau) \, d\tau ,\qquad\beta_n =\dfrac 2l \displaystyle\int\limits_0^l\psi (\tau ) \sin (\dfrac{n\pi}{l}\tau ) \,d\tau . \)
Podstawiając ( 4 ) i ( 5 ) do ( 1 ) otrzymamy
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[\omega''_n(t)+a^2 \lambda_n^2 \omega(t)-\gamma_n (t)\bigg]\sin( \lambda_n x) =0 \)
gdzie \( \hskip 0.3pc \lambda_n=\dfrac{n\pi}{l}. \hskip 0.3pc \)
Z kolei podstawiając ( 4 ) i ( 6 ) do warunków początkowych ( 3 ) otrzymamy
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big[\omega_n(0)- \alpha_n\Big] \sin (\lambda_n x) =0. \)
oraz
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big[\omega'_n(0)- \beta_n\Big] \sin (\lambda_n x) =0. \)
Warunki ( 8 ), ( 9 ) i ( 10 ) są spełnione, jeśli dla dowolnego \( \hskip 0.3pc n \in \mathbb N \hskip 0.3pc \)
\( \omega''_n(t)+a^2 \lambda_n^2 \omega(t)= \gamma_n (t),\qquad\omega_n(0)=\alpha_n,\quad \omega^\prime _n(0)=\beta_n. \)
Rozwiązując problem ( 11 ) otrzymamy
\( \begin{aligned}\omega_n(t)= & \alpha_n \cos (a\lambda_nt) +\dfrac {\beta_n}{a\lambda_n} \sin (a\lambda_nt) -\dfrac 1{a\lambda_n} \int_0^t\Big(\gamma_n (s ) \sin (\lambda_ns) \Big)\,ds \cos (a\lambda_nt)+\\&\dfrac 1{a\lambda_n} \displaystyle\int_0^t\Big(\gamma_n (s ) \cos (a\lambda_ns)\Big) ds \sin (a\lambda_nt)= \alpha_n \cos (a\lambda_nt) +\dfrac {\beta_n}{a\lambda_n} \sin (a\lambda_nt )+ \\& \dfrac 1{a\lambda_n} \int_0^t\Big(\gamma_n (s )\sin (a\lambda_n(t-s ))\Big)\, ds .\end{aligned} \)
Podstawiając ostatni związek do wzoru ( 4 ) otrzymamy
\( \begin{aligned}u(x,t)=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\alpha_n \cos (a\lambda_nt) +\dfrac {\beta_n}{a\lambda_n} \sin (a\lambda_nt) \Big) \sin (\lambda_nx) +\\& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac 1{a\lambda_n}\displaystyle\int_0^t\Big(\gamma_n (s )\sin \big(a\lambda_n(t-s )\big) \Big)\, ds\,\sin(\lambda_nx) .\end{aligned} \)
Kładąc
\( G(x,s,t,\tau)=\dfrac 2{al} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac 1{\lambda_n}\sin(\lambda_n\tau)\sin \big(a\lambda_n(t-s )\big) \sin(\lambda_nx) \)
i uwzględniając ( 7 ) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) możemy zapisać w postaci
\( u(x,t)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\alpha_n \cos (\lambda_nt)+ \dfrac {\beta_n}{a\lambda_n} \sin (\lambda_nt) \Big) \sin (\lambda_nx) +\displaystyle\int\limits_0^t \displaystyle\int\limits_0^lG(x,s,t,\tau) f(\tau ,t)\, d\tau ds. \)
Rozważmy równanie
\( u_{tt}=a^2 u_{xx} +f(x), \quad 0< x< l,\quad t> 0, \)
z warunkami brzegowymi
\( u(0,t)=\alpha, \quad u(l,t)= \beta , \quad t\geq 0. \)
oraz warunkami początkowymi
\( u(x,0)=\varphi (x), \quad u_t(x,0)= \psi (x), \quad 0 \leq x \leq l. \)
Szukamy rozwiązania w postaci sumy
\( u(x,t)=w(x)+v(x,t), \)
gdzie \( \hskip 0.3pc w \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania zwyczajnego
spełniającego warunki brzegowe \( \hskip 0.3pc w(0)=\alpha,\hskip 0.3pc w(l)= \beta. \)
Funkcja \( \hskip 0.3pc v \hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania cząstkowego
\( v_{tt}=a^2 v_{xx}, \quad 0< x< l,\quad t> 0, \)
spełniającym warunki początkowe
\( v(x,0)=\varphi (x)-w(x),\quad v_t(x,0)=\psi (x),\qquad \quad 0< x< l, \)
oraz warunki brzegowe
\( v(0,t)=0,\quad v(l,t)=0,\qquad t>0. \)
Rozwiązanie ostatniego problemu, jeśli znamy funkcje \( \hskip 0.3pc w, \hskip 0.3pc \) zostało podane w module (zob. wzór ( 8 ) ). Wystarczy zatem znależć rozwiązanie problemu ( 15 ), które - jak łatwo sprawdzić - wyraża się wzorem
\( w(x)= \alpha + \dfrac xl (\beta -\alpha )+\dfrac x{a^2l}\displaystyle\int\limits_0^l\displaystyle\int\limits_0^t{f(s)}\,dsdt-\dfrac 1{a^2}\displaystyle\int\limits_0^x\int\limits_0^t{f(s)}\,dsdt. \)
Zauważmy, że metodę opisaną w powyrzszym przykładzie możemy również stosować
w przypadku równania postaci
( 1 ), jeśli druga pochodna z funkcji \( \hskip 0.3pc f \hskip 0.3pc \) względem \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) jest równa zeru.
